旅人算は、中学受験の算数でよく出題される特殊算の1つです。速度の異なる2人以上が移動する場面を題材にした問題で、速さ・距離・時間の関係をもとに解いていきます。
この記事では、旅人算の公式や解き方を、例題を交えながらわかりやすく解説します。
また、旅人算は問題のパターンが多く、「どの解き方を使えば良いのかわからない」といった理由から、苦手と感じる受験生が多い分野です。つまずきやすいポイントや、ご家庭でできる対策も併せて紹介しますので、ぜひ中学受験の算数対策の参考にしてください。
旅人算とは「速さ」の単元に含まれる特殊算のひとつ
旅人算とは、「速さ」を解く単元の1つです。中学受験特有の特殊算であるため、小学校では習いません。そのため、解き方を知らないと、難しく感じるでしょう。
ここでは、旅人算とは何かを解説していきます。
旅人算は解き方の理解が必須
旅人算とは、速さの異なる2人以上が、出会ったり追いついたりするまでの時間や地点を求める問題です。
例えば、1,000m離れた場所にいる兄弟が、向かい合って同時に歩き始めるとします。兄が分速60m、弟が分速40mで進む場合、2人が出会うのは何分後でしょうか。
これは、距離を2人の速さの合計で割ることで求められ、1000÷（60+40）=10という式で表せます。よって、答えは10分後です。
一見、難しそうに感じられるかもしれませんが、解き方を理解していれば非常にシンプルな問題です。ただし、公式を丸暗記するだけでは対応できないため、考え方そのものをしっかりと理解することが重要になります。
旅人算を解くには「速さ」の公式が基本
旅人算を解く上で基本となるものが、速さの「き・は・じ」の公式です。
「き・は・じ」とは、距離・速さ・時間のことで、それぞれを求める際の公式を表します。
- 距離=速さ×時間
- 速さ=距離÷時間
- 時間=距離÷速さ
必要であれば、以下の図を書き出しておくと理解しやすくなるでしょう。
中学受験では、旅人算をはじめとする特殊算に苦手意識を持つ小学生が少なくありません。
トライで一人ひとりの理解度に合った対策を行い、苦手の克服を目指しましょう。
まずはお気軽にご相談ください。
旅人算と出会い算の違い
旅人算と混同しやすいものに、「出会い算」があります。どちらも「速さ」に関する問題ですが、この2つの違いは考え方の範囲にあり、旅人算の中に出会い算が含まれるという関係です。
ここでは、その違いについて詳しく見ていきましょう。
出会い算は向かい合って出会う問題
出会い算とは、旅人算の1つで、離れた地点にいる速度の異なる2人が向かい合って進み、出会うまでを考える問題です。
特徴としては、2人の進行方向が逆であることと、「いつ出会うか（時間）」や「どこで出会うか（距離）」を求める点にあります。
出会い算は、旅人算の中でも基本となる考え方です。
旅人算は速さの関係を扱う問題の総称
旅人算とは、速さの関係を扱う問題の総称のことです。速さの異なる2人以上が登場し、出会い算の他にもさまざまな特殊算が含まれます。
例えば、同じ方向に進む2人のうち速い方が遅い方に追いつく「追いつき算」や、円形のコースを回る「周回算」などが代表的です。
旅人算を解く際には、問題文を読んでどのパターンに当てはまるかを判断して解けることが重要と言えるでしょう。
旅人算の解き方は4パターン｜出会う・追いつく問題の基本
旅人算の問題は、主に4つのパターンに分けられます。中でも特に重要なものが、出会う・追いつくの問題です。
速度の異なる2人がスタート地点からどちらの方向に進むのか、また2人の距離が縮まるのか離れるのかを確認することで、速度の和と差のどちらを使って解くべきかが判断できます。
ここからは、4つのパターンとその解き方について詳しく見ていきましょう。
旅人算の解き方のポイント
まずはじめに、旅人算の解き方のポイントを整理しましょう。
- 解き方のパターンを知り、問題文からどのタイプかを見抜く
- 線分図を描いて状況を整理する
- 1分後の状態を考える
こうしたポイントを押さえながら問題を読み進めていくと、自然と解き方が見えてきます。何度も問題を解いて慣れてくると、スムーズにアプローチできるようになるでしょう。
① 向かい合って進み出会う｜速さの和
1つ目のパターンは、離れた地点にいる2人が向かい合って出発し、出会う問題です。
Aさんは分速40m、Bさんは分速80mで進みます。600m離れた場所から同時に向かい合って出発する場合、AさんとBさんは何分後に出会いますか。
この問題は、2人が出会う時間を求めることから、「出会い算」であることがわかります。まずは、1分後にどのような状態になっているかを考えてみましょう。
線分図で表すと、以下のようになります。
1分間でAさんとBさんの距離は40m+80m=120m縮まり、これは2人の速さの和に当たります。
したがって、2人が出会う時間は、
距離÷速さの和=時間
という公式で求められ、これを例題に当てはめると、
600÷（40+80）=5
となり、答えは5分後です。
答え：5分後
向かい合って進む場合は、2人で協力して距離を縮めていくイメージで、速さの和を使うことがポイントになります。
② 同じ場所から反対方向に進む｜速さの和
2つ目のパターンは、同じ場所から2人が反対方向に進み、離れていく問題です。
分速40mで進むAさんと、分速80mで進むBさんが、同じ場所を出発して反対方向に進みます。10分後にAさんとBさんは何m離れますか。
1分後に、AさんとBさんはどのような状況になっているでしょうか。線分図で表すと、以下のようになります。
1分間でAさんとBさんの距離は40m+80m=120m離れ、これは2人の速さの和に当たります。
したがって、10分後の2人の距離は、
速さの和×時間=距離
という公式で求められ、これを例題に当てはめると、
（40+80）×10=1200
となり、答えは1,200mです。
答え：1,200m
③ 同じ方向に進んで追いつく｜速さの差
3つ目のパターンは、2人が同じ方向に進み、速度の速い人が遅い人との距離を縮めて追いつく問題です。
分速80mで進むBさんが、1000m先を分速40mで歩くAさんを追いかける場合、Bさんは何分後にAさんに追いつきますか。
この問題は、追いつく時間を求めることから、「追いつき算」であることがわかります。まずは、1分後にどのような状態になっているかを考えてみましょう。
線分図で表すと、以下のようになります。
1分間でBさんはAさんに、80m-40m=40m追いつき、これは2人の速さの差に当たります。
したがって、BさんがAさんに追いつく時間は、
距離÷速さの差=時間
という公式で求められ、これを例題に当てはめると、
1000÷（80-40）=25
となり、答えは25分後です。
答え：25分後
旅人算の中でも、特につまずきやすいのがこの追いつくパターンです。応用として、すれ違いや通過、図形の問題と組み合わせて出題されることも多くあります。
追いつく場合、2人の距離が縮まるのは速さの差の分だけというイメージで、速さの差を使うことがポイントです。
④ 速度の違いで距離が広がる｜速さの差
4つ目のパターンは、2人が同時に出発して同じ方向に進む場合、速度の違いによって離れていく問題です。
分速40mで進むAさんと、分速80mで進むBさんが、同じ場所を同時に出発して同じ方向に進みます。10分後にAさんとBさんは何m離れますか。
1分後に、AさんとBさんはどのような状況になっているでしょうか。線分図で表すと、以下のようになります。
1分間でAさんとBさんの距離は80m-40m=40m離れ、これは2人の速さの差に当たります。
したがって、10分後の2人の距離は、
速さの差×時間=距離
という公式で求められ、これを例題に当てはめると、
（80-40）×10=400
となり、答えは400mです。
答え：400m
旅人算「池の周り」問題の考え方と解き方
ここでは、旅人算の中でもつまずきやすい、池の周りを回る問題「周回算」について解説します。難しいと感じる理由や、解き方のポイントを整理していきましょう。
旅人算の池の周り問題が難しい理由
旅人算の中でも、池の周りを回る問題は全体の距離を把握しづらく、さらに2人の距離が縮まっているのか離れているのかがイメージしにくいことから、難しく感じられがちです。
また、問題文の状況を線分図で表すことに、戸惑うこともあるでしょう。
このような池の周りの問題に対応するには、「出会う」のか「追いつく」のかというパターンを見分けることと、図で表すことが重要です。
これらのポイントを意識して繰り返し練習することで、徐々に理解が深まり、スムーズに解けるようになります。
池の周りで出会う問題｜速さの和
2人が同じ場所から同時に反対方向へ出発し、池の周りを進んで出会う問題について考えてみましょう。
1周360mの池の周りを、AさんとBさんが同時に同じ地点から反対方向に歩き始めます。
Aさんの速さは分速40m、Bさんの速さは分速80mです。2人は何分後に出会いますか。
AさんとBさんが出会うということは、2人が進んだ距離の合計が池1周分になる状態を指します。
そのため、スタート地点で区切り、池の周りを直線として考えると、以下のような線分図になります。
1分間でAさんとBさんの距離は40m+80m=120m縮まり、これは2人の速さの和です。
したがって、2人が出会う時間は、
距離÷速さの和=時間
という公式で求められ、これを例題に当てはめると、
360÷（40+80）=3
となり、答えは3分後となります。
出会う問題であると判断できれば、速さの和を使うとわかり、さらに池の周りを直線の線分図として描けると、解き方の見通しも立てやすくなるでしょう。
池の周りで追いつく問題｜速さの差
次に、2人が池の周りを同時に同じ方向へ進み、速度の速い人が先に1周回り、遅い人に追いつく問題について考えてみましょう。
1周360mの池の周りを、AさんとBさんが同時に同じ方向に歩き始めます。Aさんの速さは分速40m、Bさんの速さは分速80mです。BさんがAさんにはじめて追いつくのは、出発してから何分後ですか。
BさんがAさんに追いつくということは、以下のような状態です。
この図から、2人の距離の差は池1周分であることがわかります。つまり、2人の距離の差が池1周分の360mになる時間を求めるということです。
1分間でAさんとBさんの距離は80m-40m=40m離れ、これは2人の速さの差に当たります。
したがって、BさんがAさんに追いつく時間は、
距離÷速さの差=時間
という公式で求められ、これを例題に当てはめると、
360÷（80-40）=9
となり、答えは9分後です。
答え：9分後
同じ方向に出発して追いつく問題では、「速度の速い人が遅い人よりも1周分多く進む」とイメージすると、状況をつかみやすくなります。
【中学受験対策】旅人算でつまずきやすいポイント
ここでは、旅人算でつまずきやすいポイントをいくつか紹介します。旅人算の対策が思うように進まないと感じている場合は、参考にしてみてください。
速さの和・差どちらを使って解くか判断できない
旅人算でつまずく要因の1つに、速さの和と差のどちらを使えば良いか判断できないことがあります。
対処法としては、まず「出会う問題か、追いつく問題か」を見極めましょう。
- 出会う問題→速さの和
- 追いつく問題→速さの差
それでも判断が難しい場合は、「問題文の中で、2人の距離の和と差のどちらがわかっているか」に注目します。
- 2人の距離の和がわかる→速さの和
- 2人の距離の差がわかる→速さの差
Aさんは分速40m、Bさんは分速80mで進みます。600m離れた場所から同時に向かい合って出発する場合、AさんとBさんは何分後に出会いますか。
この場合、AさんとBさんが出会うとき、2人の進んだ距離の和は600mです。したがって、速さの和を使って解いていくと判断します。
分速80mで進むBさんが、1,000m先を分速40mで歩くAさんを追いかける場合、Bさんは何分後にAさんに追いつきますか。
この場合、問題文からAさんとBさんの距離の差が1,000mであるとわかるため、速さの差を使って解きます。
速さの和と差のどちらを使うべきか迷ったときは、こうしたポイントを手掛かりにしてみましょう。
問題文を線分図にうまく表現できない
旅人算は難易度が上がるほど、問題文の情報を整理しながら線分図に表すことが重要になります。線分図にうまく表現できないと、状況を正しく把握できず、混乱しやすくなるでしょう。
線分図を描く際には、以下のポイントを意識することが大切です。
- 場所、人、速度を書く
- 2人が動いた距離を線で表す
- 出来事ごとに矢印で線を区切り、同時刻に起きたことは同じ印をつけておく
問題文や設問から読み取れる情報は、線分図へ描いていきましょう。また、どちらの方向に動いたのかがわかるように、矢印を使って表すこともポイントです。
重要なことは、同時刻に起きたことがわかるように、「〇□△」のような印をつけることです。
中には、途中で一方が休憩するような問題もありますが、印を残しておくことで、複雑な状況でも整理しやすくなり、混乱を防ぐことにつながります。
距離・速さ・時間の単位を揃えていない
旅人算の解き方がわかっていても、距離・速さ・時間の単位の揃え方を理解していないと、正しく解けなかったりミスをしてしまったりすることがあります。
問題文をよく読み、単位が統一されていない場合は、1つの単位に揃えてから計算しましょう。主な単位換算は、以下の通りです。
【距離】
- 1km=1,000m
【速さ】
- 時速=分速×60
- 分速=時速÷60
- 分速=秒速×60
- 秒速=分速÷60
【時間】
- 1時間=60分
- 1分=60秒
また、設問には「kmで答えなさい」や「時速で答えなさい」のように、解答の単位が示されています。計算結果をそのまま書くのではなく、最後に設問で求められている単位に直してから答えるようにしましょう。
応用問題になると対応できない
旅人算における速さの和と差の考え方を理解せずに、公式の丸暗記に頼ってしまっていると、応用問題になったときに対応できなくなることがあります。
旅人算の応用問題には、2つの地点を往復する問題や、3人が移動する問題、速さを比で考える問題などさまざまなパターンがあります。
こうした問題への対処法は、解き方の基本を大切にすることです。線分図に描き起こして、1分後にはどのような動きをイメージし、速さの和と差のどちらを使って解くかを見極めましょう。
多くのパターンの応用問題に触れながら、解き方を習得していくことが大切です。
旅人算の練習問題を解いてみよう
旅人算の解き方のポイントを踏まえて、実際に練習問題を解いてみましょう。
例題 ①｜難易度★
Aさんの家とBさんの家は1.5km離れています。ある日、AさんとBさんはお互いの家に向かって同時に歩き始めました。Aさんの速さは分速80m、Bさんの速さは分速70mです。2人が出会うのは、歩き始めてから何分後ですか。
【解説】
この問題のポイントは、距離の単位が「km」、速さの単位が分速で「m」になっているところです。まずは単位揃え、1.5kmを1,500mに直しましょう。
問題文の状況を線分図に表すと、以下のようになります。
1分後、2人の距離は80m+70m=150m縮まるため、出会うまでの時間は2人の速さの和を使って求めます。
1500÷（80+70）=10
となり、答えは10分後です。
答え：10分後
例題 ②｜難易度★★
兄と弟がP地点から同時に出発し、1,200m離れたQ地点に向かいました。兄は分速100m、弟は分速60mで進みます。兄は先にQ地点に着くと、すぐに同じ道を引き返しました。このとき、兄と弟が出会うのは、P地点から何mの場所ですか。
【解説】
この問題のポイントは、「往復」していることです。2人が出会う状態を線分図で表すと、以下のようになります。
このように、兄と弟の進んだ距離の合計は、P地点からQ地点までの距離の2倍であることがわかります。したがって、2人が出会うまでに進んだ距離の合計は、
1200×2=2400
となり、2,400mです。
また、1分間で2人の距離は100m+60m=160m縮まるため、出会うまでの時間は2人の速さの和を使って求めます。
2400÷（100+60）=15
となり、2人が出会うのは15分後です。
問題文には「P地点から何mの場所ですか」とあるため、弟の分速60mを使って距離を求めると、
60×15=900
となり、答えは900mです。
答え：900m
何を求める問題なのかを最後に確認し、ミスをしないように気をつけましょう。
例題 ③｜難易度★★★
1周600mの池の周りを、Aさんは分速60m、Bさんは分速90mで歩きます。スタート地点から、まずBさんが歩き始めました。その5分後に、AさんがBさんと同じ方向に歩き始めました。Aさんが歩き始めてから、何分後にBさんは追いつくでしょうか。
【解説】
この問題のポイントは、2人の出発する時間がずれているところです。まず、Aさんが歩き始める瞬間の状況を整理しましょう。
Aさんが出発するとき、Bさんはすでに5分間歩いているため、その距離は次の通りになります。
90×5=450
この時点で、2人の距離の差は450mです。
BさんがAさんに追いつくには、池1周分（600m）の差を縮める必要があります。しかし、すでに450mの差がついているため、実際に縮めなければならない距離は、
600-450=150
となり、150mです。
Aさんが出発してからは、1分ごとに2人の距離が90m-60m=30m縮まるため、追いつくまでの時間は速さの差を使って求めます。
したがって、150mの差を縮めるのにかかる時間は、
150÷（90-60）=5
となり、答えは5分後です。
同時に出発して追いつく場合は、2人の距離の差は池1周分になりますが、時間差で出発した場合は、先に進んだ距離も考慮する必要があります。
また、どちらが追いかける側なのかは混乱しやすいポイントですが、図に描き起こすことで状況を整理できます。問題文に沿って、丁寧に図にしていきましょう。
旅人算をマスターするために家庭でできること
ここからは、旅人算を習得するために、保護者様がご家庭で実践できるサポート方法を紹介します。ぜひ、日々の家庭学習に取り入れてみてください。
線分図を書く習慣をつける
旅人算の問題に取り組む際は、線分図を描く習慣をつけることが大切です。
繰り返し練習して慣れてくると、線分図を描かずに公式だけで解こうとしてしまうかもしれません。しかし、図を省略すると、思わぬミスにつながることもあります。
家庭学習では、線分図を描く練習も意識的に取り入れながら、応用問題にも対応できる力を育てていきましょう。
公式の暗記に頼らない学習
公式を丸暗記するのではなく、旅人算の考え方そのものをしっかり理解することが大切です。
公式だけに頼ってしまうと、応用問題に対応できなかったり、「速さの和」と「速さの差」の使い分けを誤ったりすることがあります。
例えば、「2人が同じ方向に進んでいれば速さの差を使う」と覚えている場合、追いつきの問題では解くことが可能です。しかし、往復して出会うような問題では、同じ方向に進んでいる場面があっても、実際には出会い算として考える必要があり、速さの和を使います。
こうしたミスを防ぐためにも、公式に頼るのではなく、解き方まで丁寧に理解しておきましょう。
多くの出題パターンに触れて練習する
旅人算には、出会い算や追いつき算、周回算の他にも、さまざまなパターンがあります。そのため、できるだけ多くの問題に触れて練習することが効果的です。
また、問題を解いて終わりにするのではなく、間違えた場合には「どこで・なぜ間違えたのか」を振り返りましょう。
できなかった部分をそのままにしておくと、苦手意識につながりやすくなります。失敗を学びに変えていくことで、自然と自信もついていくでしょう。
保護者は子どもの考える力をサポート
お子さまに対して、「この問題を解きなさい」「この公式を使いなさい」といった一方的な声掛けは、できるだけ控えましょう。
学習が思うように進まないと、つい指示を出したり答えを教えたりしたくなりますが、保護者様はあくまでお子さまの伴走者として寄り添う姿勢が大切です。
指示や答えを与えるのではなく、ヒントを示しながら、お子さま自身が考えられるようにサポートしていきましょう。
そして、うまくできたときには、できるだけ具体的に褒めることで、学習へのモチベーションも自然と高まっていきます。
勉強はプロ講師に任せるという選択肢も
中学受験の算数は難易度が高く、保護者様が教えるには限界を感じることもあるかもしれません。また、テキストや参考書とは異なる解き方を教えてしまうというリスクも考えられます。
そのため、中学受験に向けた学習は、プロ講師に任せることも1つの選択肢です。志望校に応じた対策やノウハウを持つ専門家に任せることで、より効果的かつ効率的に中学受験準備を進められるでしょう。
算数の成績が思うように伸びず、「このままでは中学受験までに間に合わないかも……」とお悩みの方は、こちらの記事も参考にしてみてください。
トライの中学受験対策
トライでは、中学受験対策にも対応しており、志望校や学力に合わせた、オーダーメイドのカリキュラムが最大の強みです。得意分野はさらに伸ばしながら、苦手分野はピンポイントで補強することで、効果的かつ効率的な学習を実現します。
旅人算のように、解き方のパターンが多く「どこでつまずいているのかわからない」という場合も、トライのマンツーマン授業なら、お子さまがどのステップで理解が止まっているのかを丁寧に分析した上で、一人ひとりに合った指導が可能です。速さの和・差の使い分けから線分図の描き方まで、基礎から着実に固めていきます。
すでに学習塾に通っている場合でも、「集団授業のペースについていけない」といった悩みを抱えるご家庭も少なくありません。そのようなときこそ、トライとの併用がおすすめです。集団塾では補いきれない部分を、トライがしっかりとフォローします。志望校合格に向けて、無理なく着実に力を伸ばしていきましょう。
まとめ
中学受験において旅人算は、速さ・距離・時間の関係を理解した上で、状況に応じた解き方を選ぶ必要があるため、苦手意識を持つ人が多い分野の1つです。解法のパターンが多く、つまずきやすいポイントは人それぞれ異なります。
トライの個別指導では、お子さまがどこでつまずいているのかを丁寧に分析し、一人ひとりの理解度に合わせた指導が可能です。苦手な部分を根本からしっかり克服できるよう、マンツーマンでサポートします。ぜひ、トライで中学受験対策を始めましょう。
